TrigonomEtri
identitas
cos² A + sin² A= 1
cot A = cos A/ sin A
csc A = 1/sin A
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Buktikan identitas
a. cos⁴ A - sin⁴ A = 2 cos² A - 1
ruas kiri = cos⁴ A - sin⁴ A
=(cos² A - sin² A)(cos² A + sin² A)
=(cos² A - (1 - cos² A)(1)
= cos² A - 1 + cos² A
= 2cos² A - 1
b. cot⁴ A - csc⁴ A = 1 - 2 csc² A
ruas kiri
= cot⁴ A - csc⁴ A
= (cot² A + csc² A)(cot² A - csc² A)
[tex]\sf =(\frac{cos^2 A}{sin^2 A}+\frac{1}{sin^2A})(\frac{cos^2 A}{sin^2 A}- \frac{1}{sin^2A})[/tex]
[tex]\sf =(\frac{cos^2 A+1}{sin^2 A})(\frac{cos^2 A-1}{sin^2 A})[/tex]
[tex]\sf =(\frac{1- sin^2A+1}{sin^2 A})(\frac{-sin^2A}{sin^2 A})[/tex]
[tex]\sf =(\frac{2- sin^2A}{sin^2 A})(-1)[/tex]
[tex]\sf =-(\frac{2}{sin^2 A} - \frac{sin^2A}{sin^2 A})[/tex]
[tex]\sf = -(2 csc^2 A - 1)[/tex]
(Catatan: Jawaban ini hanya cara lain dari jawaban pertama, dengan esensi yang sama.)
- a. [tex]\cos^4A-\sin^4A=2\cos^2A-1[/tex] terbukti.
- b. [tex]\cot^4 A-\csc^4 A = 1-2\csc^2 A[/tex] terbukti.
Pembahasan
Pembuktian Identitas Trigonometri
Soal a
Kita akan menggunakan identitas trigonometri:
[tex]\cos^2A+\sin^2A=1[/tex]
untuk membuktikan [tex]\cos^4A-\sin^4A=2\cos^2A-1[/tex].
[tex]\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri}=\cos^4A-\sin^4A\\&{=\ }\left(\cos^2A+\sin^2A\right)\left(\cos^2A-\sin^2A\right)\\&{=\ }(1)\left(\cos^2A-\left(1-\cos^2A\right)\right)\\&{=\ }\cos^2A-1+\cos^2A\\&{=\ }2\cos^2A-1=\textsf{ruas kanan}\\&\quad\Rightarrow \sf terbukti!\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]
Soal b
Kita akan menggunakan identitas trigonometri:
[tex]\cot^2 A=\csc^2 A-1[/tex]
untuk membuktikan [tex]\cot^4 A-\csc^4 A = 1-2\csc^2 A[/tex].
[tex]\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri}=\cot^4 A-\csc^4 A\\&{=\ }\left(\cot^2 A+\csc^2 A\right)\left(\cot^2 A-\csc^2 A\right)\\&{=\ }\left(\csc^2 A-1+\csc^2 A\right)\left(\csc^2 A-1-\csc^2 A\right)\\&{=\ }\left(2\csc^2 A-1\right)(-1)\\&{=\ }1-2\csc^2 A=\textsf{ruas kanan}\\&\quad\Rightarrow \sf terbukti!\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]
